Permutasi dan Kombinasi

Terdapat demikian banyaknya kelas kombinatorial. Berdasarkan konteks pengkajiannya, kelas kombinatorial disajikan dalam representasi tertentu, antara lain dalam bentuk graf, diagram, matriks, ataupun untai/barisan (string/words/sequences). Contohnya, permutasi dan kombinasi umumnya direpresentasikan dalam bentuk barisan, dan mereka merupakan kelas yang sangat familiar bagi para pelajar sekolah menengah. Namun, tentunya kelas-kelas kombinatorial tidak hanya itu. Berikut disajikan beberapa kelas kombinatorial yang cukup familiar.

Permutasi

Misalkan di sebuah taman terdapat  sebuah bangku panjang yang dapat memuat 3 orang. Pada saat yang bersamaan, ada tiga orang, sebut saja A, B, dan C, yang ingin duduk di bangku tersebut. Ada berapakah kemungkinan urutan duduk dari ketiga orang itu pada bangku tersebut?

Ketiga orang tersebut dapat duduk dalam enam kemungkinan urutan: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, dan CBA. Nah, setiap kemungkinan urutan itu disebut sebagai permutasi, atau lengkapnya permutasi dari himpunan $\{A,B,C\}$. Dalam hal ini, permutasi memiliki kardinalitas 6.  Ilustrasi berikut menggambarkan keenam kemungkinan tersebut:

6 kemungkinan posisi duduk untuk A, B, dan C.

Bagaimana jika ada empat orang yang ingin duduk? Tentu satu orang tidak mendapat tempat, sehingga ia harus berdiri. Jika si D yang berdiri, maka A, B, dan C memiliki enam cara untuk duduk. Demikian pula jika si A yang berdiri, maka B,C, dan D memiliki enam cara untuk duduk. Sama halnya jika, B atau C yang berdiri, maka ketiga orang lainnya memiliki enam cara untuk duduk. Jadi, jawaban dari persoalan ini adalah: terdapat 24 susunan duduk untuk tiga orang dari empat orang yang ada. Persoalan ini dapat dikatakan sebagai permutasi 3 dari 4, dan dinotasikan sebagai $P(4,3)$ (notasi lainnya adalah $_4P_3$, $P_4^3$, dan $P_{4,3}$ ).

Masih meneruskan persoalan di atas, bagaimana jika ada lima orang yang ingin duduk? Jawabannya adalah permutasi 3 dari 5, atau $P(5,3)=60$. Jika enam orang? Jawabannya adalah $P(6,3)=120$. Pertanyaan yang lebih umum: bagaimana jika terdapat $n$ orang? Jawabannya adalah $P(n,3)$.

Nah, bagaimana kalau kapasitas bangkunya yang ditambah. Misalkan kita ganti bangkunya dengan yang lebih besar sehingga mampu memuat empat orang. Jika ada empat orang yang ingin duduk, maka jawabannya adalah permutasi 4 dari 4 (dalam hal ini cukup disebut sebagai permutasi-4), dinotasikan sebagai $P_4$. Jika ada lima orang? Jawabannya adalah $P(5,4)=120$.

Sekarang, kita bicara secara umum: jika sebuah bangku dapat memuat $k$ orang dari $n$ orang yang ada, terdapat berapa kemungkinan susunan duduk $k$ orang tersebut pada bangku? Tapi tunggu dulu. Sebelum dijawab, kita harus menyadari bahwa masalah ini tentu tidak hanya untuk bangku taman. Oleh karena itu, kita dapat mengajukan pertanyaan yang lebih umum, yaitu: ada berapa cara untuk mengurut $k$ objek dari $n$ objek yang tersedia? Jawabannya adalah $P(n,k)=\frac{n!}{(n-k)!}$.

Kombinasi

Sebuah klub olahraga futsal memiliki anggota 12 orang anggota.  Pada suatu kompetisi, sang pelatih akan memilih 5 orang di antara mereka untuk membentuk sebuah tim bertanding. Anggaplah semua anggota memiliki skill yang sama, sehingga setiap orang memiliki kesempatan yang sama untuk dipilih. Ada berapa kemungkinankah tim bertanding yang dapat dibentuk?
Dalam permasalahan ini, urutan pemilihan tidaklah penting. Tim yang beranggotakan si A, B, C, D, dan E, adalah sama dengan tim yang beranggotakan si C, E, D, B, dan A. Nah, karena urutan pemain tidak penting, maka masalah ini disebut masalah kombinasi. Setiap kemungkinan tim yang dapat dibentuk disebut kombinasi 5 orang dari 12 orang, atau singkatnya, kombinasi 5 dari 12, dan dinotasikan sebagai $C(12,5)$.
Secara umum, $C(n,k)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$, sehingga $C(12,5)=792$. Jadi, terdapat 792 kemungkinan tim yang dapat dibentuk.