Kombinatorika secara umum dikatakan sebagai "matematika pencacahan"; lebih lengkapnya, ia adalah matematika tentang pencacahan (enumerasi), eksistensi, konstruksi, dan optimisasi berkenaan dengan himpunan hingga yang memenuhi konfigurasi tertentu.
Himpunan-himpunan yang memiliki konfigurasi sama tersebut membentuk suatu "kelas kombinatorial", yaitu kumpulan objek sejenis yang mengemban sejumlah sifat-sifat kombinatorika.
Dalam kehidupan sehari-hari, sebuah koin mata uang dipandang sebagai sebuah objek. Namun secara kombinatorika, koin dapat dianggap sebagai dua buah objek, yaitu: koin dengan sisi angka, dan koin dengan sisi gambar. Karena sifat-sifat kombinatorial inilah, koin membentuk sebuah kelas kombinatorial. Sebuah koin terdiri memiliki dua objek; dua buah koin memiliki empat objek; tiga buah koin memiliki delapan objek, dan seterusnya. Demikian halnya dengan sebuah dadu. Sebuah dadu memiliki enam objek; dua buah dadu memiliki tiga puluh enam objek; dan seterusnya.
Contoh lainnya, "pakaian" dapat dipandang sebagai suatu kelas kombinatorial. Misalnya sebuah objek pakaian didefinisikan terdiri dari unsur "baju" dan "celana" (karena terdiri dari dua unsur maka dikatakan sebagai "pakaian berukuran 2") Nah, misalkan pula baju dan celana dapat memiliki warna tertentu saja, yaitu biru (B), merah (M), atau kuning (K). Berbagai kemungkinan warna inilah yang memunculkan sifat-sifat kombinatorika pada objek pakaian. Kita dapat memiliki berbagai kemungkinan pakaian yang dapat dibentuk, misalkan baju kuning, celana merah (KM); baju kuning, celana biru (KB); baju merah, celana kuning (MK), dan berbagai kemungkinan lainnya.
Dalam kehidupan sehari-hari, sebuah koin mata uang dipandang sebagai sebuah objek. Namun secara kombinatorika, koin dapat dianggap sebagai dua buah objek, yaitu: koin dengan sisi angka, dan koin dengan sisi gambar. Karena sifat-sifat kombinatorial inilah, koin membentuk sebuah kelas kombinatorial. Sebuah koin terdiri memiliki dua objek; dua buah koin memiliki empat objek; tiga buah koin memiliki delapan objek, dan seterusnya. Demikian halnya dengan sebuah dadu. Sebuah dadu memiliki enam objek; dua buah dadu memiliki tiga puluh enam objek; dan seterusnya.
Contoh lainnya, "pakaian" dapat dipandang sebagai suatu kelas kombinatorial. Misalnya sebuah objek pakaian didefinisikan terdiri dari unsur "baju" dan "celana" (karena terdiri dari dua unsur maka dikatakan sebagai "pakaian berukuran 2") Nah, misalkan pula baju dan celana dapat memiliki warna tertentu saja, yaitu biru (B), merah (M), atau kuning (K). Berbagai kemungkinan warna inilah yang memunculkan sifat-sifat kombinatorika pada objek pakaian. Kita dapat memiliki berbagai kemungkinan pakaian yang dapat dibentuk, misalkan baju kuning, celana merah (KM); baju kuning, celana biru (KB); baju merah, celana kuning (MK), dan berbagai kemungkinan lainnya.
Kombinatorika "mengabstraksi" objek-objek tersebut. Jadi, tidak terlalu penting apakah objek itu pakaian, mobil, dadu, atau yang lainnya. Agar dapat "dikaji" secara kombinatorika, terdapat sejumlah cara untuk merepresentasikan objek nyata, antara lain dengan graf, barisan (sebutan lainnya untai, kata, string, sequences/words), atau diagram.
Dengan mengabstraksikan objek pakaian sebagai "barisan", terbentuk sebuah himpunan yang memiliki 9 anggota, yang setiap anggotanya berupa barisan berukuran 2, yaitu BB, BM, BK, MB, MM, MK, KB, KM, dan KK, sebagaimana ilustrasi berikut:
Selanjutnya, misalkan didefinisikan pakaian berukuran 3, dengan sebuah unsur tambahan "sepatu". Misalkan pula sepatu memiliki dua kemungkinan warna, yaitu hijau (H) dan coklat (C). Maka akan terbentuk himpunan berukuran 3 yang memiliki 18 anggota yaitu BBH, BBC, BMH, BMC, BKH, BKC, MBH, MBC, MMH, MMC, MKH, MKC, KMH, KMC, KKH, KKC, sebagaimana ilustrasi berikut:
Selanjutnya, misalkan didefinisikan pakaian berukuran 3, dengan sebuah unsur tambahan "sepatu". Misalkan pula sepatu memiliki dua kemungkinan warna, yaitu hijau (H) dan coklat (C). Maka akan terbentuk himpunan berukuran 3 yang memiliki 18 anggota yaitu BBH, BBC, BMH, BMC, BKH, BKC, MBH, MBC, MMH, MMC, MKH, MKC, KMH, KMC, KKH, KKC, sebagaimana ilustrasi berikut:
Dengan cara menambah unsur pembentuk pakaian, kita dapat mendapatkan himpunan pakaian berukuran 4, 5, dan seterusnya. Himpunan-himpunan pakaian dengan berbagai ukuran tersebut membentuk sebuah kelas kombinatorial "pakaian".
Nah, untuk kelas pakaian di atas, dapat diajukan pertanyaan-pertanyaan, antara lain:
- Bagaimana cara mengetahui semua kemungkinan kombinasi pakaian dengan ukuran tertentu? Pertanyaan ini terkait dengan konstruksi.
- Bagaimanakah menghitung banyaknya kemungkinan pakaian dengan ukuran tertentu? Pertanyaan ini terkait dengan enumerasi.
- Ada berapa banyak kombinasi pakaian yang mungkin jika celana merah dilarang digunakan? Pertanyaan ini terkait dengan restriksi.
- Pada kelas pakaian yang diuraikan di atas, apakah terdapat pakaian dengan baju putih, celana merah, sepatu putih? Pertanyaan ini terkait dengan eksistensi.
.... dan banyak lagi. Berbagai pertanyaan itulah yang membentuk berbagai kajian dalam kombinatorika, seperti kombinatorika enumeratif, kombinatorika optimasi, aljabar kombinatorika.
Terdapat banyak sekali kelas-kelas kombinatorial, dan mungkin kelas yang paling primitif adalah kelas bilangan biner. Kelas lainnya contohnya adalah permutasi, permutasi multi himpunan, partisi himpunan, partisi integer, dan banyak lagi (bahkan, rantai DNA adalah sebuah kelas kombinatorial).
Mungkin titik awal lahirnya kombinatorika sebagai cabang formal dari matematika adalah pada tahun 1736 ketika Euler membuktikan ketiadaan solusi pada masalah "Tujuh jembatan Königsberg". Namun, manusia mengenal problem-problem kombinatorika jauh sebelum itu. Umumnya bersifat rekreatif, seperti Chinese rings dan diagram Murasaki.
Saat ini, kajian-kajian dalam kombinatorika telah diterapkan dalam domain ilmu lainnya, seperti kriptografi, bioinformatika, geometri, statistika, dan bahkan untuk hal-hal rekreatif seperti memecahkan puzzle.
Mungkin titik awal lahirnya kombinatorika sebagai cabang formal dari matematika adalah pada tahun 1736 ketika Euler membuktikan ketiadaan solusi pada masalah "Tujuh jembatan Königsberg". Namun, manusia mengenal problem-problem kombinatorika jauh sebelum itu. Umumnya bersifat rekreatif, seperti Chinese rings dan diagram Murasaki.
Saat ini, kajian-kajian dalam kombinatorika telah diterapkan dalam domain ilmu lainnya, seperti kriptografi, bioinformatika, geometri, statistika, dan bahkan untuk hal-hal rekreatif seperti memecahkan puzzle.
Tidak ada komentar:
Posting Komentar