Himpunan Partisi

Misalkan ada 4 orang murid, sebut saja si A, B, C, dan D. Sang guru ingin membagi mereka menjadi beberapa kelompok, di mana setiap kelompoknya beranggotakan minimal satu orang. Ada berapa carakah mereka dikelompokkan? Untuk menjawabnya, mari kita tinjau semua kemungkinannya. Pengelompokan yang mungkin terbentuk adalah (setiap kelompok diapit oleh pasangan kurung kurawal):
Terbentuk satu kelompok saja, yaitu

•  {A,B,C,D}

Terbentuk 2 kelompok, yaitu:

• {A,B} dan {C,D}; atau 
• {A,C} dan{B,D}; atau 
• {A,D} dan {B,C}; atau
• {A,B,C} dan {D}; atau
• {A,B,D} dan {C}; atau
• {A,C,D} dan {B}; atau
• {B,C,D} dan {A}

Terbentuk 3 kelompok, yaitu:

•  {A,B}, {C}, dan {D}; atau 
• {A,C}, {B}, dan {D}; atau 
• {A,D}, {B}, dan {C}; atau 
• {B,C}, {A}, dan {D}; atau 
• {B,D}, {A} dan {C}; atau 
• {C,D}, {A} dan {B}

Terbentuk 4 kelompok, yaitu:

• {A}, {B}, {C} dan {D}.

Jadi, sang guru memiliki 15 cara untuk mengelompokkan keempat murid tersebut.

Sekarang, mari kita tinjau masalah ini secara matematika. Keempat murid tersebut membentuk himpunan {A,B,C,D}.  Berdasarkan  uraian di atas, maka terdapat 15 cara (kemungkinan) untuk mengelompokkan elemen-elemen himpunan {A,B,C,D}. Nah, setiap cara pengelompokan dari {A,B,C,D}, misalnya {A,C} dan {B,D}, disebut himpunan partisi dari {A,B,C,D}. Lantas, apakah ciri-ciri dari himpunan partisi?  Perhatikan bahwa untuk himpunan {A,C} dan {B,D} berlaku

Oleh karena sifat tersebut, {A,C} dan {B,D} dikatakan sebagai dua himpunan yang saling lepas (disjoin). Di sisi lain, penggabungan {A,C} dan {B,D} menghasilkan himpunan induknya, yaitu {A,B,C,D}; atau secara matematis dinyatakan  $\{ A,C\}  \cup \{ B,D\}  = \{ A,B,C,D\}.$  Jadi, himpunan partisi memiliki 2 ciri yaitu: (1) saling lepas, dan (2) penggabungannya akan membentuk himpunan induk. Kalian bisa periksa bahwa ke-14 himpunan partisi lainnya memenuhi kedua ciri tersebut.


Nah, kemudian timbul pertanyaan: bagaimana untuk himpunan yang memiliki 5 anggota, misalnya {A,B,C,D,E}. Ada berapa himpunan partisi yang dapat dibentuk? Bagaimana untuk himpunan dengan anggota yang lebih banyak lagi? Tentu himpunan partisinya juga akan semakin banyak, bukan? Jawaban dari pertanyaan ini adalah: bilangan Bell. Beberapa urutan awal dari bilangan Bell adalah 1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, dst. Perhatikan bahwa suku ke-4 adalah 15. Hal ini dapat diartikan himpunan dengan 4 elemen memiliki 15 himpunan partisi (dengan kata lain, dapat dipartisi dengan 15 cara). Perhatikan pula bahwa semakin banyak elemen himpunan, maka banyak himpunan partisinya juga meningkat dengan cukup drastis. Misalnya, himpunan dengan 7 elemen, memiliki 877 himpunan partisi.

Pertanyaan berikutnya, bagaimana cara kita menuliskan seluruh himpunan partisi tersebut secara sistematis? Hmm, jawaban dari pertanyaan ini bisa menjadi artikel tersendiri. Ditunggu saja artikel selanjutanya ya...  (Bersambung)